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【中学2・3年生 数学】式による説明のコツ②"連続する~"パターン別徹底解説【1学期中間テスト範囲】

投稿日:2019年6月7日 更新日:

みなさん、今週も学校・お仕事お疲れ様でした。

福井の家庭教師のベストマン代表加藤です。

 

本当に毎日が目まぐるしく過ぎていき、もう金曜日かといつも驚きます。

充実しているということなんでしょうか....。

 

さて、本日も本題に入る前にまず頭の体操から。

 

 

今日のクイズ「?に入る数字を求めよ。」

1+4=5

2+5=12

3+6=21

8+11=?

この問題は解き方が2パターンあると言われており、その両方の解法を見つけ出すことができた人は、

なんとIQ130以上!(本当かどうかはわかりません)

と言われている問題です。

 

1行目の式をみると、単純な足し算の計算の問題のように思えます。

1+4=5

この通り足し算通りの答えです。

しかし、2行目

2+5=12

2+5=7となるところが12となっています。

さらに

3行目

3+6=21

3+6=9となるところが21。

 

どうやら普通に足し算をするだけではないようですね。

 

 

是非皆さん、紙とペンを持ってきて実際に書いて色々試してみてください。

隠れた法則を見つけ出しましょう!

 

解法①

まず、多くの人がたどり着く解法から説明したいと思います。

 

1+4=5

(5+)2+5=12

(12+)3+6=21

(21+)8+11

40

このように、上の行の答え(右辺)を最初に足していきます。

そうすると、答えは40となります。

 

答えの一つは40となります。

 

 

 

解法②

さて、もう一つの解法ですが、もう一度問題を見てみると、

+4=5

+5=12

+6=21

8+11=?

 

左辺の左側の数字は

と続いておりますね。

4行目は

4となるところが、8となっているようにも思えます。

ですので、

+4=5

+5=12

+6=21

ーーーーーーーーーーーー

4+

5+

6+

7+

ーーーーーーーーーーーー

8+11=?

 

3行目から4行目の間に

3~8の間の数である、4、5、6、7の行が隠されていると考えましょう。

 

左辺の右側の数ですがこれまた、

1+=5

2+=12

=21

・・・・

8+11=?

 

4、5、6、、と続いて4行目で11がきていますね。

先ほどと同様に

3行目の6から4行目の11の間の数である、

7、8、9、10の数をそれぞれの行に加えてみましょう。

 

1+4=5

2+5=12

3+6=21

ーーーーーーーーーーーー

4+

5+

6+

7+10

ーーーーーーーーーーーー

8+11=?

 

となります。

 

そしてこの隠された行を加えて解法①での前の行の答え(右辺)を足してみると。

1+4=5

(5+)2+5=12

(12+)3+6=21

ーーーーーーーーーーーー

(21+)4+7=32

(32+)5+8=45

(45+)6+9=60

(60+)7+10=77

ーーーーーーーーーーーー

(77+)8+11

=96

となり、答えは96となります。

これが2つ目の解法ですが、実はわたくし、この2つとは全く違う方法で96を導きだしてしまいました。

 

加藤の解法(たぶん間違っている)

私は、まず問題をみて、足し算を取っ払って考えました。

 

1 =5

2 =12

3 =21

-------------------------

8 11=?

上の3行までにおいて、

左辺の右側の数(赤色)にそれぞれ1を足して、それぞれ積(掛け算)を取ると右辺の答えになることに気が付きました。

まぁプラスを消している時点でごり押しというか問題自体が変わっているのですが。。。

 

とにかくそのやり方をすると、

1 × (4+1)=5

2 × (5+1)=12

3 × (6+1)=21

-------------------------

8 × (11+1)

96

96という答えは出せました。

でも参考にしないでください。

これは解法に認められないと思います。

 

 

 

是非、来週学校でこの問題を話題にしてみましょう!

 

 

さて、皆さんの脳がほぐれたところで本題に参ります。

今回は、

前回アップした式による説明の続きです。

 

こちらの記事では、式による説明において、

第①段落 どんな数の話なのかを見つけ、文字であらわす!

第②段落 それらの数に「何をしたら」を見つけ、実際に計算する。

第③段落 結果「どうなるのか」を見つけ、説明する。

上記の3つのコツを説明させていただきました。

 

まだお読みになられていない方がいれば是非ご覧ください。

 

 

しかし、前回の記事だけでは、少し不足している部分があります。

実際解き方を説明した問題は説明する対象が「連続する整数」の場合でした。

 

説明する対象の数は、「連続する整数」だけではなく、「連続する偶数」「連続する奇数」など他にもいくつかパターンがあります。

今回は、「連続する」パターン別を徹底解説していきたいと思います。

 

 

 

 

連続する~」パターン別 式の説明 文字での表し方!

前回は、式の説明の流れのコツをお伝えさせていただきました。

説明する対象の数が変わっても全体としての流れは同じで大事なことは、

第①段落 どんな数の話なのかを見つけ、文字であらわす!

第②段落 それらの数に「何をしたら」を見つけ、実際に計算する。

第③段落 結果「どうなるのか」を見つけ、説明する。

 

この順序に従うことです。

しかし、上記3つのコツのうち

第①段落 どんな数の話なのかを見つけ、文字であらわす!

は対象となる数がどんな数なのか事前にある程度知識が必要です。

 

数によって文字での表し方が多少異なるからです。

今回はこの第①段落においてのパターンを例題を元に解説していきたいと思います。

どうか最後までお付き合いお願いいたします。

 

 

連続する~ の大まかなパターン

連続する整数は前回の記事でも説明した通り、

1,2,3,4,5,6,7.....

と1づつ増えていく数列上の数のことを言いました。

 

まず1つ覚えていただきたいのが

「連続する」という言葉があれば、1種類の文字のみ使う!

ということです。

 

細かく分けて以下に連続するパターンと文字への表記方法をまとめました。

 

連続するパターン

 

①連続する2つの整数→n、n+1

表記例

連続する2つの整数のうち小さいほうの整数をnとすると連続する2つの整数は、

n、n+1

と表される。

 

②連続する3つの整数→n、n+1、n+2

表記例

連続する3つの整数のうち一番小さい整数をnとすると連続する3つの整数は、

n、n+1、n+2

と表される。

 

③連続する4つの整数→n、n+1、n+2、n+3

表記例

連続する4つの整数のうち一番小さい整数をnとすると連続する4つの整数は、

n、n+1、n+2、n+3

と表される。

 

④連続する2つの偶数→2n、2n+2

表記例

連続する2つの偶数はnを整数とすると

2n、2n+2

と表される。

補足説明

連続する2つの偶数とは

2,4,6,8,10,12,14,16......

と2から始まり2づつ増えていく数列上にある隣り合う2つの偶数のことを言います。

 

nを整数とすればそれに2をかけた2nはすべての偶数を表すことができます。

その2nを連続する2つの小さい方の偶数とするならば、

その隣にある偶数は、その数よりも「2」大きいはずなので、

2n+2となります。

 

 

⑤連続する3つの偶数→2n、2n+2、2n+4

表記例

連続する3つの偶数はnを整数とすると

2n、2n+2、2n+4

と表される。

補足説明

連続する3つの偶数とは

2,4,6,8,10,12,14,16......

赤マーカーのように、連続する偶数の数列上にある3つの隣り合っている偶数のことを言います。

 

その中の一番小さい偶数を2nとするならば、その隣にある偶数は、その数よりも「2」大きいはずなので、

2n+2となります。

さらにその隣にある数は、さらに「2」大きいはずなので、2n+4

となるのです。

 

⑥連続する2つの奇数→2n+1、2n+3 or  2n-1、2n+1

表記例

連続する2つの奇数はnを整数とすると

2n+1、2n+3

と表される。

補足説明

連続する2つの奇数とは

1,3,5,7,9,11,13,15......

と1から始まり2づつ増えていく数列上にある隣り合う2つの奇数のことを言います。

 

nを整数とすればそれに2をかけた2nはすべての偶数を表すことができます。

そして奇数とは偶数ではない整数のことを言い、奇数は必ず偶数の1となりに存在します。

 

ですので2nという偶数に1を足したり引いたりすることで、奇数を表すことができるのです。

その2n+1を連続する2つの奇数のうち小さい方の奇数とするならば

その隣にある奇数は、その数よりも「2」大きいはずなので、

2n+3となります。

 

⑦連続する3つの奇数→2n+1、2n+3、2n+5

表記例

連続する3つの奇数はnを整数とすると

2n+1、2n+3、2n+5

と表される。

補足説明

連続する3つの偶数とは

1,3,5,7,9,11,13,15......

赤マーカーのように、連続する奇数の数列上にある3つの隣り合っている奇数のことを言います。

 

その中の一番小さい奇数を2n+1とするならば、その隣にある偶数は、その数よりも「2」大きいはずなので、

2n+3となります。

さらにその隣にある数は、さらに「2」大きいはずなので、2n+5

となるのです。

 

 

 

まとめ

みなさん、いかがでしたでしょうか?

連続するパターンの対象の文字への表し方を解説させていただきましたが、

すべてに共通することがあると思います。

 

それは、使う文字がnの一種類しかないことです。

これが今回一番重要なことで、

連続する、つまり隣り合う数は

一つの文字で表現することができるのです。

 

今回皆さんに覚えていただきたいことは

連続する」というワードが入っていたら使う文字は1つだけ!!

これだけです。

 

 

次回は、「連続する」パターンではない、対象の解説をしていきたいと思います。

2けたの自然数、2つの偶数、2つの奇数....などなど。

 

 

それではみなさん、

ご閲覧ありがとうございました。

 

 

最後に

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